Mathematik – Ein Lehr- und Übungsbuch – Satz PDF

Der rote Vektor ist ein Eigenvektor der Scherabbildung, während der blaue Vektor dies aufgrund seiner Richtungsänderung nicht ist. Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Mathematik – Ein Lehr- und Übungsbuch – Satz PDF eindeutig lösbar ist oder nicht.


Författare: Carsten Gellrich.
Bei der methodischen Aufbereitung des Lehrstoffes wird in dieser Reihe davon ausgegangen, dass der Nutzer die Mathematik nicht als Wissenschaft betreiben will, sondern als Instrument zur Lösung der in seinem Fachgebiet anstehenden Aufgaben.

In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells. Die Frage, die sich hier stellt, lautet: Unter welchen Bedingungen ist eine Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix? Bei großen Matrizen ist dies oft nicht möglich, sodass hier Verfahren der numerischen Mathematik zum Einsatz kommen. Eigenwerte und stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar. Nullstellen, wobei mehrfache Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden. Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum. Eigenwerte, wenn man diese mit ihren Vielfachheiten zählt.

Die eben dargestellte Vielfachheit eines Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms bezeichnet man als algebraische Vielfachheit. Als Spektralradius bezeichnet man den größten Betrag aller Eigenwerte. Dies entspricht genau der Diagonalisierbarkeit der Blockmatrix zum gegebenen Eigenwert. Der Eigenwert 2 hat algebraische Vielfachheit 2, weil er doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Während die exakte Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms schon für dreireihige Matrizen nicht so einfach ist, wird sie für große Matrizen meist unmöglich, sodass man sich dann auf das Bestimmen von Näherungswerten beschränkt. Hierzu werden Verfahren bevorzugt, die sich durch numerische Stabilität und geringen Rechenaufwand auszeichnen. Des Weiteren gibt es noch Methoden zur Abschätzung, z. Die Folded Spectrum Method liefert mit jedem Durchlauf einen Eigenvektor, der jedoch auch aus der Mitte des Spektrums stammen kann. Die Eigenvektoren spannen den Eigenraum auf, dessen Dimension als geometrische Vielfachheit des Eigenwertes bezeichnet wird. Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes kann man also auch als die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert definieren. Die geometrische Vielfachheit ist höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit.

Eigenwert eine geometrische Vielfachheit von 1. Das hat eine wichtige Konsequenz: Die Matrix ist nicht diagonalisierbar. Eigenwerten die Vielfachheit zu beachten ist. Eigenvektoren zum Eigenwert 1 sind Fixpunkte in der Abbildungsgeometrie. Nach dem Satz vom Fußball gibt es beispielsweise zwei Punkte auf einem Fußball, die sich zu Beginn der ersten und der zweiten Halbzeit an der jeweils gleichen Stelle im Raum befinden.

Im Rahmen der Hauptachsentransformation werden die Eigenwerte auch Hauptwerte genannt. Es lässt sich immer eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren angeben. Dies ist eine direkte Folgerung aus dem Spektralsatz. Insbesondere sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten zueinander orthogonal. Die aus den Vorzeichen der Eigenwerte ermittelte Signatur der Matrix bleibt nach dem Trägheitssatz von Sylvester unter Kongruenztransformationen erhalten. Rayleigh-Quotient lässt sich zu jedem Eigenvektor der zugehörige Eigenwert ermitteln. Mit dem Satz von Courant-Fischer lässt sich jeder Eigenwert als minimaler beziehungsweise maximaler Rayleigh-Quotient darstellen.

Aus diesem einfachen Beweis geht hervor, dass die Eigenvektoren zu nichtentarteten Eigenwerten mehrerer paarweise kommutierender Matrizen Eigenvektoren aller dieser Matrizen sind. Allgemein können auch für kommutierende diagonalisierbare Matrizen mit entarteten Eigenwerten gemeinsame Eigenvektoren gefunden werden. Stochastik bei der Berechnung von stationären Verteilungen von Markow-Ketten mittels einer Übergangsmatrix. Bei normalen Matrizen fallen Links- und Rechtseigenvektoren zusammen. Dieses verallgemeinerte Eigenwertproblem wird hier jedoch nicht weiter betrachtet. Meistens spricht man von linearen Operatoren anstatt von linearen Abbildungen. Eigenwerte haben, haben lineare Operatoren im Allgemeinen unendlich viele Elemente im Spektrum.

Daher ist es zum Beispiel möglich, dass das Spektrum von linearen Operatoren Häufungspunkte besitzt. Um die Untersuchung des Operators und des Spektrums zu vereinfachen, unterteilt man das Spektrum in unterschiedliche Teilspektren. Wie in der linearen Algebra wird jedem Eigenwert ein Raum von Eigenvektoren zugeordnet. Da die Eigenvektoren meist als Funktionen aufgefasst werden, spricht man auch von Eigenfunktionen.

Drehachse und damit die Fixpunkte, von denen der Satz vom Fußball spricht. Eigenwerte spielen in der Quantenmechanik eine besondere Rolle. Drehimpuls werden hier durch Operatoren repräsentiert. Messbar sind nur die Eigenwerte der Operatoren. Heisenbergschen Unschärferelation ausgedrückt, ist letztlich darauf zurückzuführen, dass für die jeweiligen Operatoren kein gemeinsames System von Eigenvektoren existiert. Dietlinde Lau: Algebra und Diskrete Mathematik 1. Gilbert Strang: Introduction to Linear Algebra.